科研費獲得情報 - 三井　健太郎

代数群作用を持つ代数多様体族の研究

基盤研究(C)

課題番号: 21K03179

研究期間: 2021年04月  -  2026年03月 

代表者: 三井健太郎 

直接経費: 3,300,000（円）  間接経費: 4,290,000（円）  金額合計: 990,000（円）

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小平次元０の楕円曲面の特異ファイバーに関する研究について改良を重ね論文が受理された．一般に楕円曲面の小平次元は１以下である．基礎体の標数が０の場合や楕円曲面の小平次元が０以外のの場合については先行研究があり，有理楕円曲面や多重種数が小さい小平次元１の楕円曲面については，どのような特異ファイバーが現れるか知られていた．今回の研究では正標数体上の小平次元０の楕円曲面について類似の結果を得た．先行研究により，このような楕円曲面に現れる可能性のある多重ファイバーの組み合わせの表が与えられていた．対象となる全ての曲面を体系的に構成することで，表にある組み合わせのうちの一部は実際には存在しないことを示し，存在する場合は具体的構成方法を明らかにした．この非存在性については算術幾何を応用した別の方法でも証明し，その理論的背景も明らかにした．また同時に，準超楕円曲面に関する先行研究の誤りについても詳細な証明を与えて訂正し上記研究を完成させた． 正規整スキーム上の代数群の一般ファイバーは関数体上の代数群である．これまでの研究で，関数体上の代数群のトーサー（主等質空間）から正規整スキーム上の代数群が作用する対称性の高い幾何学的モデル（代数群作用を持つ代数多様体族）を構成した．このようなモデルの分類についての研究を進めることで，長らく正しいと信じられていたモデルの一意性に関する先行研究の誤りを訂正できることがわかったので，具体的に反例を構成し，その事実について執筆した．より具体的には，これまでの研究で，代数群がDedekindスキーム上固有な場合には上述のようなモデルが一意的に存在するが，底空間上固有でない場合にはモデルが存在したとしても一意的であるとは限らず，モデルの同型類はGaloisコホモロジーを用いて分類できることを示した．また，多くの線形代数群の場合にモデルが必ず存在することも示した．

代数群作用を持つ代数多様体族の研究

基盤研究(C)

課題番号: 21K03179

研究期間: 2021年04月  -  2026年03月 

代表者: 三井健太郎 

直接経費: 3,300,000（円）  間接経費: 4,290,000（円）  金額合計: 990,000（円）

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小平次元０の楕円曲面の特異ファイバーに関する研究について改良を重ね論文が受理された．一般に楕円曲面の小平次元は１以下である．基礎体の標数が０の場合や楕円曲面の小平次元が０以外のの場合については先行研究があり，有理楕円曲面や多重種数が小さい小平次元１の楕円曲面については，どのような特異ファイバーが現れるか知られていた．今回の研究では正標数体上の小平次元０の楕円曲面について類似の結果を得た．先行研究により，このような楕円曲面に現れる可能性のある多重ファイバーの組み合わせの表が与えられていた．対象となる全ての曲面を体系的に構成することで，表にある組み合わせのうちの一部は実際には存在しないことを示し，存在する場合は具体的構成方法を明らかにした．この非存在性については算術幾何を応用した別の方法でも証明し，その理論的背景も明らかにした．また同時に，準超楕円曲面に関する先行研究の誤りについても詳細な証明を与えて訂正し上記研究を完成させた． 正規整スキーム上の代数群の一般ファイバーは関数体上の代数群である．これまでの研究で，関数体上の代数群のトーサー（主等質空間）から正規整スキーム上の代数群が作用する対称性の高い幾何学的モデル（代数群作用を持つ代数多様体族）を構成した．このようなモデルの分類についての研究を進めることで，長らく正しいと信じられていたモデルの一意性に関する先行研究の誤りを訂正できることがわかったので，具体的に反例を構成し，その事実について執筆した．より具体的には，これまでの研究で，代数群がDedekindスキーム上固有な場合には上述のようなモデルが一意的に存在するが，底空間上固有でない場合にはモデルが存在したとしても一意的であるとは限らず，モデルの同型類はGaloisコホモロジーを用いて分類できることを示した．また，多くの線形代数群の場合にモデルが必ず存在することも示した．

リジッド幾何学の新展開 --- 新しいハイブリッド型幾何学の構築と応用の探求

基盤研究(B)

課題番号: 17H02832

研究期間: 2017年04月  -  2022年03月 

代表者: 加藤 文元, 齋藤 秀司, 三井 健太郎 

直接経費: 12,000,000（円）  間接経費: 15,600,000（円）  金額合計: 3,600,000（円）

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●ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築については、その基礎的部分の構築から実質的な作業段階に入った。従来のリジッド幾何学に比べて、ヘンゼル的リジッド幾何学は極めてデリケートなものであることがすでに明らかになっている。特にそのコホモロジーの計算に必要な定理Aおよび定理Bが一般に成り立たないことを受けて、どのような状況を考え、どのようにこの困難を回避するべきかについての集中的な考察を開始している。これらの基礎理論構築から発展的な考察を続ける場合、楕円曲線や志村多様体などの数論幾何的空間の構造解析や、代数サイクル理論への応用など、将来的応用のための技術的条件を加味しながら研究を続ける必要がある。 ●解析多様体の有理点に関するピラ・ウィルキー型の定理への非アルキメデス的側面からの応用という、新しい応用の可能性については、引き続きワイツマン研究所（イスラエル）のGal Binyamini氏との共同研究を続けている。技術的な部分はそのネーター正規化定理の確立にあるが、これについては今後も研究を発展させていくことが十分に価値のあることであり、その理解についても深まってきている。 ●初期研究体制の構築と充実化については、ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築体制（加藤・三井）と実験検証体制（加藤・斎藤）、および代数幾何学や数論幾何学など既存の幾何学体系への応用企画体制（加藤・斎藤・三井）という基本的な研究体制の足場を踏まえて、さらなる発展へ向けてその基盤環境の充実をプロモートしている。この基盤体制に基づいて、研究の戦略的・発展的推進を積極的に推し進めている。 ●以上より、技術的な側面で大きな壁にぶち当たっているという状況ではあるが、それを乗り越えるだけの研究体制と、状況の深い理解に達している。その意味では、順調であると言える。

代数幾何と可積分系の融合 - 理論の深化と数学・数理物理学における新展開 -

■■■

課題番号: 00000000

研究期間: 2017年04月  -  2022年03月 

代表者: 齋藤 政彦 

直接経費: 0（円）  間接経費: 0（円）  金額合計: 0（円）

リジッド幾何学の新展開 --- 新しいハイブリッド型幾何学の構築と応用の探求

基盤研究(B)

課題番号: 17H02832

研究期間: 2017年04月  -  2022年03月 

代表者: 加藤 文元, 齋藤 秀司, 三井 健太郎 

直接経費: 12,000,000（円）  間接経費: 15,600,000（円）  金額合計: 3,600,000（円）

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●ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築については、その基礎的部分の構築から実質的な作業段階に入った。従来のリジッド幾何学に比べて、ヘンゼル的リジッド幾何学は極めてデリケートなものであることがすでに明らかになっている。特にそのコホモロジーの計算に必要な定理Aおよび定理Bが一般に成り立たないことを受けて、どのような状況を考え、どのようにこの困難を回避するべきかについての集中的な考察を開始している。これらの基礎理論構築から発展的な考察を続ける場合、楕円曲線や志村多様体などの数論幾何的空間の構造解析や、代数サイクル理論への応用など、将来的応用のための技術的条件を加味しながら研究を続ける必要がある。 ●解析多様体の有理点に関するピラ・ウィルキー型の定理への非アルキメデス的側面からの応用という、新しい応用の可能性については、引き続きワイツマン研究所（イスラエル）のGal Binyamini氏との共同研究を続けている。技術的な部分はそのネーター正規化定理の確立にあるが、これについては今後も研究を発展させていくことが十分に価値のあることであり、その理解についても深まってきている。 ●初期研究体制の構築と充実化については、ヘンゼル的リジッド幾何学の基盤構築体制（加藤・三井）と実験検証体制（加藤・斎藤）、および代数幾何学や数論幾何学など既存の幾何学体系への応用企画体制（加藤・斎藤・三井）という基本的な研究体制の足場を踏まえて、さらなる発展へ向けてその基盤環境の充実をプロモートしている。この基盤体制に基づいて、研究の戦略的・発展的推進を積極的に推し進めている。 ●以上より、技術的な側面で大きな壁にぶち当たっているという状況ではあるが、それを乗り越えるだけの研究体制と、状況の深い理解に達している。その意味では、順調であると言える。

代数幾何と可積分系の融合 - 理論の深化と数学・数理物理学における新展開 -

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課題番号: 00000000

研究期間: 2017年04月  -  2022年03月 

代表者: 齋藤 政彦 

直接経費: 0（円）  間接経費: 0（円）  金額合計: 0（円）

代数的トーサーのモデルの研究

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課題番号: 00000000

研究期間: 2017年04月  -  2021年03月 

代表者: 三井 健太郎 

直接経費: 0（円）  間接経費: 0（円）  金額合計: 0（円）

代数的トーサーのモデルの研究

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課題番号: 00000000

研究期間: 2017年04月  -  2021年03月 

代表者: 三井 健太郎 

直接経費: 0（円）  間接経費: 0（円）  金額合計: 0（円）